Sonobes ¿Platónicos?

«El fuego está formado por tetraedros;
el aire, de octaedros;
el agua, de icosaedros;
la tierra de cubos;
y como aún es posible una quinta forma,
Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal,
para que sirva de límite al mundo»

Platón

Como encarar este post? Hmmm…. A ver ….

Todo empezó hace unos meses… estaba mirando mi librito nuevo de origami: Project Origami – Activities for explorin matematics de Tom Hull, que apunta a quienes gustan de la matemática para que puedan encontrar en el origami la manera de explicar un montón de cuestiones de calculo y/o geometría. Ojeando un poco mas en detalle el índice y algunos contenidos fue como me vino a la cabeza, una de esas dudas (que mercadito de barrio me refresco en uno de sus post) y que por falta de tiempo y/o ganas nunca trate, seriamente, de contestarme.

Así que hice de lado esa falta de ganas, el tiempo lo tenia, y me puse a googlear un poco a ver que encontraba …

La pregunta original: ¿Cuál es la relación entre el modelo y la cantidad de sonobes que necesitamos para hacerlo? Siempre y cuando esa relación realmente exista.
Y yo me pregunto además: ¿Cómo es que se llega de un modelo a otro? O sea: hacemos el cubo de 6 caras, el octaedro de 8 puntas y el Icosaedro de 20. ¿Cuál es la formula que nos lleva de una figura a otra? ¿Existe esa formula? Y si vamos más allá todavía: les estamos dando nombres, por lo tanto: ¿Qué son estos cuerpos? ¿Qué representan? Por que ya que tienen nombres alguna importancia deben tener…

Y obviamente esto trasciende el origami. Mediante el plegado, simplemente encontramos una manera, de las tantas que hay, de representar cuerpos.

Cubo, octaedro e icosaedro hechos en papel glace

En un primer intento por redactar este post, había puesto todo lo que tuve que leer para poder contestar muy humildemente a las preguntas mas arriba. Después me quede pensando en que era demasiado (mas de 7 hojas), y realmente no aportaba a la causa. Así que voy a hacer un repaso rápido de las cosas que encontré y les dejo algunos links para los mas curiosos.

Saquen una hoja, evaluación de geometría...

Obviamente tuve que ponerme a repasar definiciones como la de polígono, poliedro, poligono regular y poliedro regular, para ver si eso me podia llegar a servir mas adelante. Con esto podemos contestar rápidamente a la pregunta ¿Qué son estos cuerpos?, simple: poliedros, ya que cumple con la definición de los mismos.

Ahora. ¿Que representan? Con esta pregunta me metí a leer sobre temas que se estudian desde la escuela pitagórica. Al buscar por sus nombres: octaedro, tetraedro, icosaedro … termine leyendo la historia de los llamados Sólidos Platónicos.
Estos poliedros regulares convexos que son: el cubo (hexaedro), el tetraedro, el icosaedro, el octaedro, y el dodecaedro, han cautivado a matemáticos y artistas de todos los tiempos por sus fascinantes propiedades de simetría y regularidad.

Estrellas

Orden y caos
Escher, uno de los mas notables (y de mis favoritos :P)

Un detalle curioso (y que a mi me resulta "lindo") es el por qué se los denomina Platónicos y no pitagóricos, se debe a una descripcion que da Platón del Universo donde asocia 4 de los poliedros a cada uno de los elementos (tierra, fuego, aire y agua) y con el quinto explica como este es la forma que encierra a todo el universo.
Con esto ya tenemos dos de nuestras preguntas…

Leyendo y leyendo, propiedades de los poliedros y de estos en particular, encontre por ahí una expresión denominada fórmula de Euler que determina la relación entre el número de vértices (v), el número de aristas (a), y el de caras (c) de un poliedro regular:

v + c - a = 2.

Con esto vemos que claramente existe una relación entre las caras del poliedro, sus aristas, ángulos etc. Pero ¿Existe una relación entre la cantidad de módulos sonobes usados para armar el octaedro estrellado y el icosaedro estrellado?

Si vemos los poliedros que armamos con los sonobes vemos que lo que seria las caras de los poliedros no son planas, por lo tanto, y acá casi entro en crisis!, NO son los Sólidos Platónicos.
Listo! Cerremos todos y a otra cosa!

Para ser sincera no encontré poliedros que fueran idénticos a los que resultan de encastrar sonobes, al menos, no que tuvieran nombre y apellido y que de ellos se desprendiera un estudio importante como pasa con los Platónicos. Si encontré algo muy similar que son los Sólidos de Kepler, que son muy parecidos a los Platónicos pero son No convexos.


Y sin quererlo, me di cuenta que uno de los modelos que se ve muy seguido es el gran dodecaedro estrellado con el modulo tornillo, acá les dejo un paso-a-paso de cómo hacer el modulo y como encastrarlo y el link a la pagina original en donde aprendí a plegarlo (me acuerdo que este módulo me traumo bastante hasta que consegui entender como se encastraba!).

Lo hice con los papeles bifaz que me trajeron los chicos
de USA para mi cumple, queda increible!!

Tratando de no querer aceptar que hasta el momento, todo lo que había leido y escrito era en vano, y teniendo en cuenta que por algo “el de 12 y el de 30” se llaman octaedro e icosaedro (... estrellados, pero como primer nombre llevan el de los Platónicos), traté de encontrarle la vuelta: supongamos (enfasis en supongamos) que con los sonobes estamos armando estos cuerpos platonicos pero con sus caras prolongadas hacia fuera en forma de pequeñas piramides (motivo por el cual se los llama estrellados).

Y resulta, mirando y mirando una y otra vez los cuerpos que armamos con sonobes y el modo en el que se encastran, que la cantidad de sonobes a utilizar para cada uno corresponde con la cantidad de aristas que posee el sólido, o sea: el octaedro tiene 12 aristas, y se utilizan 12 módulos, y el icosaedro tiene 30 aristas y se precisan 30 módulos.

¿Por qué? ¿Por qué la cantidad de sonobes coincide con la cantidad de aristas del Sólido Platónico?
Porque resulta que el pliegue del medio del sonobe determina cada arista del Sólido. Así de simple…


Tengamos en cuenta que al unir, tres sonobes formamos un pequeña pirámide, cuya base resulta ser un triangulo equilátero, o sea un polígono regular. Como mencione antes, si consideramos que esta pirámide es plana, nos quedamos con la base y ahí tendríamos nuestro Sólido platónico, oh! casualidad tanto el octaedro como el icosaedro tienen caras triangulares. En particular, para estos dos cuerpos, resulta que un sonobe determina una de esas aristas (un lado de triangulo)…



Conclusión (apresurada??)

Todo hermoso, la teoría muy linda. Me leí 10 millones de sitios que me hablaban de los Sólidos Platónicos, de los de Kepler etc etc … todo para llegar a la conclusión de que con el módulo sonobe no estamos armando Sólidos Platónicos, Ni de Kepler ni de nadie! …. solo se cumple con el cubo, y así todo la cantidad de sonobes no tiene que ver con la cantidad de aristas, sino con las caras (6 caras - 6 sonobes). La cantidad de aristas coincide con la de sonobes solo en el caso del octaedro e icosaedro estrellados debido a que un sonobe determina una arista, pero de esta manera sus caras no son polígonos son poliedros. Por ende NO son Sólidos Platónicos.

Siempre que quise armar un poliedro con mas de 30 sonobes y que tuviera una forma mas o menos esférica, siempre termino siendo bastante oval y super frágil, se me desarmaba de nada, los vértices no quedaban bien unidos etc etc … con lo que desistí completamente de intentar armar esferas gigantes de millones de sonobes!...

Si seguimos buscando...

El otro día me disponía a postear todo esto…
Así, sin querer, buscando, releyendo algunos sitios en los que me base para escribir gran parte de este post, me encontré con este link.

Si se fijan, en la pagina 7 de este .pdf se explica un módulo, muy del estilo del sonobe, creado por Tomoko Fuse (o al menos eso dice el .pdf, voy a ver si lo puedo confirmar).

Con este módulo, que a diferencia del sonobe, esta formado por triángulos equiláteros (en el sonobe son isósceles) podemos armar los tres Sólidos Platónicos, cuyas caras son triangulares y como corresponden: con sus caras planas.
Son: el tetraedro, el octaedro y el icosaedro.

Se necesitan para…
… el tetraedro 2 módulos, uno derecho y el otro “zurdo”
… el octaedro 4 módulos iguales
… el icosaedro 10 módulos, 5 derechos y 5 “zurdos”

Acá les dejo una foto. La saqué recién (no pude con mi genio y los armé).

Los arme con papel glace, medio cortado a mano :S

Y siguiendo con la misma idea: ¿cuál es la relación entre la cantidad de módulos y el poliedro?: este caso se da que la cantidad de módulos es igual a la cantidad de caras dividido 2.

Listo!
Lo postie!
Así como está!!!
Si llego a encontrar algo mas, que pueda mejorar o contradecir todo esto … obviamente lo subo! Es mas!! acepto todo tipo de sugerencias, criticas y correcciones!

Debo confesarles que me encantaria poder tener una demostración toda matematica y perfecta de esto, pero me faltan años luz de geometria y matematica para conseguirlo ... pero si alguien lo tiene.. bienvenido sea!!!

uf! y yo que queria hacer post mas cortos...
que risa!

Acá les dejo mas links ...
Los Sólidos Platónicos: Historia de los Poliedros Regulares
Solidos platonicos y origami
Poligonos regulares de papiroflexia
Solidos de Kepler - Poinsot